Во всех цивилизациях понятие дроби возникло, вероятно, из процесса дробления целого на равные части (обратите внимание на саму этимологию русского слова «дробь»). Поэтому, вероятно, первыми дробями везде были дроби вида 1/n. Дальнейшее развитие естественным образом идет в сторону рассмотрения этих дробей как своего рода единиц, из которых могут быть составлены дроби m/n – рациональные числа. Однако этот путь был пройден не всеми цивилизациями: например, он так и не реализовался в древнеегипетской математике. В Древнем Египте некоторые дроби имели свои особые названия – а именно, часто возникающие на практике 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/6 и 1/8. Кроме того, египтяне умели оперировать с так называемыми аликвотными дробями (от лат. aliquot – несколько) типа 1/n – их поэтому иногда также называют «египетскими»; эти дроби имели свое написание: вытянутый горизонтальный овальчик и под ним обозначение знаменателя. Что касается остальных дробей, то их следовало раскладывать в сумму египетских. Эта задача не имеет единственного решения, и можно только догадываться, каким образом египтяне получали хотя бы какие-то решения. В сохранившихся математических папирусах приведены уже найденные разложения всех дробей типа 2/n при нечетном n до n = 101: как вы помните, в Египте при умножении и делении основной операцией было удвоение, поэтому именно дроби 2/n играли особую роль при арифметических действиях с дробными числами.

Например, в одном из папирусов рассматривается задача о делении 37 на число, заданное как (1 + 1/3 + 1/2 + 1/7). Путем последовательного удвоения этого дробного числа и выражения разности между 37 и тем, что получилось, а также при помощи процедуры, по сути, эквивалентной нахождению общего знаменателя, получается ответ: частное равно

Совсем другую картину представляет оперирование с дробями в Древнем Вавилоне. Как уже отмечалось, там широко использовались таблицы обратных величин, записанных в шестидесятеричной системе (некоторый аналог современных десятичных дробей). Эти таблицы играли большую роль, поскольку все деление сводилось к умножению на обратные величины. Однако в таких таблицах приведены обратные величины только к числам вида 2^k ∙ 3^l ∙ 5^m: лишь у таких чисел обратные выражаются в виде конечной шестидесятеричной дроби (подобно тому, как в виде конечной десятичной дроби выражаются только величины, обратные к числам вида 2^k ∙ 5^l). И хотя таких чисел много (в этом достоинство числа 60, делящегося и на 2, и на 3, и на 5), все же даже среди первых 20 встречается 5 «неправильных» чисел (это 7, 11, 13, 17 и 19), обратные величины к которым не могут быть найдены в виде конечной шестидесятеричной дроби; среди первых 60 чисел 22 «неправильных». В более ранних вавилонских таблицах напротив «неправильных» чисел написано «обратного нет». В более поздних иногда приводятся приближенные значения, например, для 1/7 приводится 8,34,17,8,34,17 (запятая разделяет соседние шестидесятеричные разряды). Здесь дважды повторен период бесконечной периодической шестидесятеричной дроби 1/7. В шестидесятеричной системе (как и в десятичной, и вообще в любой позиционной системе счисления с постоянным основанием) любое рациональное число выражается либо конечной, либо периодической дробью; но насколько вавилонские математики понимали это положение вещей, неизвестно. В целом в своих примерах они старались избегать деления на «неправильные» числа.

У греков было отдельное обозначение для 1/2 (L′′), но в целом их алфавитная нумерация с трудом позволяла обозначать дроби. Греки старались пользоваться только аликвотными дробями с числителем, равным единице: эти дроби записывались с помощью прибавления штриха ′ справа к символу, обозначающему знаменатель. Лишь Диофанту удалось ввести удачные обозначения для дробей вида m/n: он писал знаменатель выше числителя (в отличие от современных обозначений!) либо отмечал числитель штрихом, а знаменатель двумя штрихами; иногда же, при рассуждениях, знаменатель совсем опускался. Впрочем, несмотря на удобство таких обозначений, греческие астрономы, как мы видели, предпочитали следовать вавилонской шестидесятеричной системе.

Рис. 1. Обозначения дробей у греков

В Китае практически все арифметические операции с обыкновенными дробями были установлены уже ко II в. до н. э.; они описаны в фундаментальном своде математических знаний древнего Китая – «Математике в девяти книгах», окончательная редакция которой принадлежит Чжан Цану. Вычисляя на основе правила, эквивалентного алгоритму Евклида, наибольший общий делитель числителя и знаменателя, китайские математики сокращали дроби. Умножение дробей интерпретировалось как нахождение площади прямоугольного земельного участка, длина и ширина которого выражены дробными числами. Деление рассматривалось с помощью идеи дележа, при этом китайских математиков не смущало, что число участников дележа может быть дробным, например, 3⅓ человека. Вообще же при делении дробей их обычно приводили к общему знаменателю (путем умножения знаменателей):

(a/b) : (c/d) = (ad/bd) : (cb/db) = ad : cb.

Дробь m/n при этом интерпретировались не как результат деления m на n, а как целое число m новых единиц, в n раз меньших, чем прежние единицы. Знакомое нам правило, по которому деление на дробь заменяется умножением на перевернутую дробь, впервые сформулировал Чжан Цю-цзянь в V в. н. э. Выработка такого правила была связана с использованием счетной доски, на которой дробь представлялась формально как пара чисел безотносительно к ее конкретному смыслу, и операции с дробями оказывались просто операциями с парами чисел. В III в. н. э. в Китае была введена десятичная система мер и начало складываться представление о десятичных дробях. С помощью таких дробей осуществлялось вычисление приближенных значений корней, а затем и числа π.

В Индии использовалась система записи – возможно, китайского, а возможно, позднегреческого происхождения, – при которой числитель дроби писался над знаменателем – как у нас, но без дробной черты, зато вся дробь помещалась в прямоугольную рамку. Иногда использовалось и «трехэтажное» выражение с тремя числами в одной рамке; в зависимости от контекста это могло обозначать неправильную дробь (a + b/c) или деление целого числа a на дробь b/c. Правила действий над дробями почти не отличались от современных. Как и в Китае, в Индии для приведения к общему знаменателю долгое время перемножали знаменатели всех слагаемых, но с IX в. пользовались уже наименьшим общим кратным.

Средневековые арабы пользовались тремя системами записи дробей. Во-первых, на индийский манер записывая знаменатель под числителем; дробная черта появилась в конце XII – начале XIII в. Во-вторых, чиновники, землемеры, торговцы пользовались исчислением аликвотных дробей, похожим на египетское, при этом применялись дроби со знаменателями, не превышающими 10 (только для таких дробей арабский язык имеет специальные термины); часто использовались приближенные значения; арабские ученые работали над усовершенствованием этого исчисления. В-третьих, арабские ученые унаследовали вавилонско-греческую шестидесятеричную систему, в которой, как и греки, применяли алфавитную запись, распространив ее и на целые части. Наконец, в XV в. ал-Каши ввел десятичные дроби (предыдущие попытки в этом направлении, предпринятые арабскими учеными, не возымели успеха); его целью было дать систему дробей, в которой, как в шестидесятеричной, все операции проводились бы, как с целыми числами, но которая базировалась бы на общеупотребительном десятичном основании и поэтому была бы доступна в том числе и тем, кто не знает «исчисления астрономов».

На европейском Западе шестидесятеричные дроби, нередко называемые «астрономическими», «физическими», «философскими», также широко применялись (глава об их использовании имеется даже у Леонтия Магницкого в первой русской «Арифметике» 1703 г.). При распространенности десятичных обозначений чисел было бы естественно перейти и к десятичным дробям. Впервые такую систему записи построил Иммануил бен Иакоб Бонфис из Тараскона – представитель еврейской математической школы, процветавшей в Южной Франции в XIV в., но его работа осталась незамеченной; напротив, общее употребление десятичных дробей началось с книги нидерландца Симона Стевина «Десятая» (1585). Обозначения Стевина не очень похожи на современные: у него нет запятой, отделяющей целую часть от дробной, но есть обозначения разрядов (целые обозначаются знаком 0, десятые – знаком 1, сотые – знаком 2, и т. д.), которые выписываются либо над соответствующими цифрами, либо после них в кружочках: система, с современной точки зрения, несколько громоздкая. Десятичную запятую ввел немецкий математик Георг Андреас Бёклер в 1661 г. Во многих странах вместо запятой используется точка; обозначение десятичных дробей, использующее точку, распространилось лишь в первой четверти XVIII в.

Рис. 2. Запись десятичных дробей, вверенная Стевином

(Эта задача приведена в книге знаменитого математика XIII века Леонардо Пизанского. Этой же задачей интересовался Л. Эйлер)

Требуется выбрать 5 различных гирь так, чтобы с их помощью можно было взвесить любой груз до 30 кг включительно (с точностью до килограмма) при условии, что гири ставятся только на одну чашу весов.